Curiosidades da matematica

matematica

Multiplicação russa

(Fazer multiplicações sem ter de saber a tabuada)

Alguns matemáticos atribuem aos antigos camponeses russos um processo especial de multiplicação que vamos aqui explicar.

Vamos então aplicar este método para obter o produto do número 36, pelo número 13. 36´ 13=?

Escreve-se os dois factores, um ao lado do outro, e um pouco afastados:

36 ——— 13

Determina-se a metade do número à esquerda e o dobro do número à direita, escrevendo os resultados em baixo dos factores correspondentes:

36 ——– 13
18 ——– 26

Faz-se o mesmo aos resultados obtidos (metade do número à esquerda e o dobro do número à direita)

36 ——–13
18 ——– 26
9 ——— 52

Mais uma vez, repete-se a mesma operação, mas aqui chega-se a um número ímpar (que no caso é 9), deve-se então, subtrair uma unidade a esse número , tomar a metade do resultado( 9-1 = 8, metade de 8 é 4 ) e assinalar essa passagem. E assim se continua até que o termo da esquerda seja igual .

Assim:

36 —— 13
18 —— 26
9 ——- 52*
4 ——- 104
2 ——- 208
1 ——- 416*

Somam-se os números da coluna da direita aos quais correspondem números ímpares na coluna da esquerda. (números marcados com o sinal *.) Essa soma será:

52 + 416 = 468

Assim o produto do número 36 por 13 é 468 

 

Subtracção à moda antiga

No ano 830, Mohamed Ben Musa Alkarismí, um dos sábios mais notáveis do Século IX, fazia uma subtracções de números inteiros. da seguinte forma:

(Para que possa acompanhar as operações usaremos aqui algarismos modernos.)

De 12025 vamos tirar 3604.

A operação era iniciada pela esquerda (operação I). Assim, a 12 tirava 3 e restavam 9; cancelava os algarismos considerados( 12 e 3) e escrevia o resto obtido em cima do "minuendo". (Veja abaixo.)

Continuando: a 90 tirava 6 restavam 84.

A diferença obtida (operação II) era escrita sobre o "minuendo", e os algarismos que formavam os termos de subtracção eram cancelados.

Por fim, a 8425 tirava 4 e restavam 8421 (operação III).

E assim temos a diferença entre os números dados.

 

Origem do sinal de adição

O uso do sinal de + (mais) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d´Eger publicada em Leipzig em 1489. Na Grécia antiga, os gregos indicavam a adição justapondo as parcelas. Os algebristas italianos usavam a letra P no lugar do sinal de (+). 

 

Morte trágica de alguns Matemáticos

*Tales de Mileto – asfixiado pela multidão ao sair de um espectáculo.
*Arquimedes – assassinado por um soldado romano.
*Eratóstenes – suicidou-se, deixando-se morrer de fome.
*Hipátia – lapidada por um grupo de exaltados durante um motim em Alexandria.
*Evaristo Galois – morto em duelo.
*Pitágoras – assassinado, em Tarento, durante um revolução. 

 

O que é calcular?

Antigos pastores, para controlar seus rebanhos de ovelhas, os associavam à pedras que guardavam em sacolas. Cada ovelha correspondia a uma pedrinha. No início e final do dia faziam as devidas correspondências. Se sobrasse pedra, faltava ovelha. Como pedrinha em latin significa "Calculus", daí a palavra cálculo.

 

Algumas curiosidades com números

Por vezes quando efectuamos algumas operações obtêm-se resultados curiosos e interessantes embora a sua importância seja mínima. Por exemplo:

806 pode ser decomposto no seguinte produto

806 = 31 x 26;

806 = 62 x 13.

Produto do número 37 pelos primeiros múltiplos de 3.

3 x 37 = 111

6 x 37 = 222

9 x 37 = 333

12 x 37 = 444

15 x 37 = 555

18 x 37 = 666

21 x 37 = 777

24 x 37 = 888

27 x 37 = 999

Produto de 3367 pelos primeiros múltiplos de 33.

33 x 3367 = 111111

66 x 3367 = 222222

99 x 3367 = 333333

132 x 3367 = 444444

165 x 3367 = 555555

198 x 3367 = 666666

231 x 3367 = 777777

264 x 3367 = 888888

297 x 3367 = 999999

Se continuasse-mos a multiplicar não obtínhamos a mesma sequência de números mas sim outra que até também é engraçada.

330 x 3367 = 1111110

363 x 3367 = 1222221

396 x 3367 = 1333332

429 x 3367 = 1444443

462 x 3367 = 1555554

495 x 3367 = 1666665

528 x 3367 = 1777776

561 x 3367 = 1888887

594 x 3367 = 1999998

Outro conjunto de operações com algo de curioso:

0 x 9 + 1 = 1

1 x 9 + 2 = 11

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

12345 x 9 + 6 = 111111

123456 x 9 + 7 = 1111111

1234567 x 9 + 8 = 11111111

12345678 x 9 + 9 = 111111111

 

  Se estiver interessado tente averiguar quais os números que multiplicados por 12345679 faz com que o resultado seja uma sequências de qualquer cifra ( 1 ao 9).

E esta outra pirâmide:
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

 

E esta outra:
0 x 9 + 8 = 8
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888
987654321 x 9 – 1 = 8888888888
9876543210 x 9 – 2 = 88888888888

 

ALGUNS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Um número é:

divisível por 2 quando o algarismo das unidades for par.

divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos algarismos for múltiplo de 3.

divisível por 4 quando o número formado pelas seus dois últimos algarismos for múltiplo de 4.

divisível por 5 quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.

divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos algarismos for múltiplo de 9.

divisível por 10 quando o algarismo das unidades for 0.

divisível por 11 quando a subtracção da soma dos termos de índice par pela soma dos de termo impar der 0, 11 ou um múltiplo de 11

 

Poesia Matemática

Às folhas tantas
Do livro matemático
Um Quociente apaixonou-se
Um dia
Doidamente
Por uma Incógnita
Olhou-se com um olhar inumerável
E viu, do ápice à base
Uma figura impar
Olhos onbóides, boca trapezóide
Corpo octogonal, seios esferóides
Fez da sua
Uma Vida
Paralela a dela
Até que se encontraram
No infinito
"Quem és tu?", indagou ele
Com ânsia radical
"Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa"
E de falarem descobriram quem eram
_ O que, em aritmética, corresponde
A almas irmãs _
Primos entre si.
E assim se amaram
Ao quadrado da velocidade da luz
Numa seta potenciação
Traçando
Ao sabor do momento
E da paixão
Rectas, curvas, círculos e linhas senoidais.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidianas
E os exegetas do Universo Finito.
Romperam as convenção newtonianas e pitagóricas.
E, em fim, resolveram se casar
Constituir um lar.
Mais que um lar.
Uma perpendicular
Convidaram para padrinhos
O Poliedro e a Bissectriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
Sonhando com a felicidade
Integral
E diferencial
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
Muito engraçadinhos.
E foram felizes
Até aquele dia
Em que tudo, afinal,
Vira monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
Frequentador dos círculos concêntricos.
Viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
Uma grandeza absoluta,
E reduziu-a a um Denominador Comum,
Ele, Quociente, percebeu
Que com ela não formava um todo
Uma Unidade. Era um triângulo
Tanto chamado amorosa
Dessa problema ela era a fracção
Mais ordinária
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
E tudo que era espúrio passou a ser
Moralidade
Como, aliás, em qualquer
Sociedade

 

O Número Extra do Bilhete de Identidade

     Em Portugal, os Bilhetes de Identidade possuem um misterioso número extra. Cada número tem sete algarismos, digamos 7310682 mais um número adicional, que normalmente não serve para nada, que neste caso seria o 8.

    É claro que este número tinha que dar origem a infindáveis conversas de café. Por exemplo, este número é o número de pessoas com o mesmo nome do dono do cartão. O portador do cartão 7310682 tem mais 8 homónimos. Mas será isto verdade? Não, é mentira!

O número extra é um algarismo de controlo de erros.

    Para um número típico: abcdefg h em que h é o algarismo extra é válida a seguinte condição:

8 x a  + 7 x b + 6 x c + 5 x d + 4 x e +3 x f + 2 x g + 1 x h = múltiplo de 11.

No caso do número 7310682 – 8 teríamos: 8 x 7+ 7 x 3 + 6 x 1 + 5 x 0 + 4 x 6 + 3 x 8 +2 x 2 +1 x 8 = 143.Como 143/11 =13, conclui-se que 143 é múltiplo de 11 e assim sendo, o número do Bilhete de Identidade é válido.

Para que é que isto serve?

    Caso alguém se engane num algarismo do seu número, os serviços poderão recuperar o número correcto sabendo que o resultado terá que ser múltiplo de 11.

Por exemplo:

4264167 – 6 tem um algarismo errado porque: 8 x 4 + 7 x 2 + 6 x 6 + 5 x 4 + 4 x 1 + 3 x 6 + 2 x 7 + 1 x 6  = 144; 144/11 =13.09.

    Devia ser possível recuperar o número correcto, mas não é, porque há muitas hipóteses, mesmo considerando que só um dos algarismos está errado. Por exemplo, se o primeiro algarismo for 8 e não 4 obtém-se:

8 x 8 + 7 x 2 + 6 x 6 + 5 x 4 + 4 x 1 + 3 x 6 + 2 x 7 + 1 x 6 = 176, 176/11 =16 Mas se o quarto número for 9 e não 1 obtém-se: 8 x 4 + 7 x 2 + 6 x 6+5 x 4 + 4 x 9 + 3 x 6 + 2 x 7+1 x 6= 176, 176/11 =16.

    Mas o sistema permite detectar erros e corrigir erros simples, como por exemplo a troca de um algarismo por um imediatamente acima ou abaixo 

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